Gọi M là một đa tạp khả vi và p là một điểm của M

Đặt v ∈ TpM là một vectơ tiếp tuyến với đa tạp tại p. Tồn tại một đường trắc địa duy nhất γv thỏa mãn γv(0) = p với vectơ tiếp tuyến ban đầu γ′v(0) = v.

Ánh xạ mũ tại p {\displaystyle p} là một ánh xạ ký hiệu exp p {\displaystyle \exp _{p}} , được xác định bởi expp(v) = γv(1). Nói chung, ánh xạ mũ chỉ được xác định cục bộ, nghĩa là nó chỉ đưa một vùng lân cận của 0 trong TpM đến một vùng lân cận của p trong đa tạp.